海岸線為什麼越量越長

本文由英文原文機器翻譯而成。

最後更新：2026年11月2日 · 閱讀時間約14分鐘

《世界概況》（World Factbook）在2026年2月遭美國中央情報局（CIA）停刊之前，記載的英國海岸線長度是12,429公里。世界資源研究所（WRI）給出的數字則是19,717公里，大約是前者的1.6倍。兩者都不是筆誤；它們頂著同一個名目，回答的卻是不同的問題。

英國地形測量局（Ordnance Survey）從1791年起就在測繪英國，英國也擁有GPS基礎設施、衛星影像和完整的水文測量資料。即使如此，英國仍然說不出一個在任何比例尺下都站得住的本國海岸線長度，因為這個問題本來就沒有唯一的答案。《世界概況》從未交代它的數字取自哪些地圖；它對海岸線的定義，是陸地（包括島嶼）與海洋之間邊界的總長度。WRI倒是交代了：它的數字是在2000年根據比例尺1:250,000的World Vector Shoreline算出來的，這是美國國防製圖局製作的全球資料集。

而且越放大，差距越大。量得越精確，算進去的海灣、岬角和河口邊緣就越多，海岸也就越長。沒有哪一種地圖比例尺能一錘定音，工程技術再進步也無濟於事，因為不規則是海岸本身的性質，而且在很寬的尺度範圍內不斷重複出現。

聽過這件事的人，大多把它當成一則趣聞，一個關於碎形的聰明冷知識，歸檔在芝諾悖論和蒙提霍爾問題之間的某個位置。但海岸線也是各國劃定漁權、礦產主張和主權領土邊界的地方。

條約援引這些邊界，法院裁決關於它們的爭端，保險公司依據它們為保單定價。如果這條線取決於你怎麼量，那麼每一個建立在這條線上的制度，都繫於某人做出的一個選擇，而這個選擇多半從未公開說明。

數位海岸線的長度從何而來

CIA從未記錄它的數字取自哪些地圖。WRI則是在GIS軟體中，把World Vector Shoreline裡一段段線段的長度加總起來。數位海岸是一串以直線段相連的點：資料集保留的頂點越多，海岸的複雜度就留存得越多，量出來的海岸也越長。兩者之中只有一個附了註腳：WRI寫明了資料來源和比例尺，並提醒讀者，越精細的地圖會得出越長的海岸。

Richardson發現的問題

Lewis Fry Richardson是貴格會信徒，也是氣象學家，開創數值天氣預報是他的成就之一；他還花了數十年試圖理解戰爭的成因。到了1940年代晚期，他正在檢驗一個具體的假說：兩國之間爆發武裝衝突的機率，與兩國共同邊界的長度有關。這個邏輯相當直觀：邊界越長，摩擦越多；摩擦越多，戰爭就越多。

為了檢驗這個假說，他需要邊界長度。他發現，西班牙記載它與葡萄牙的邊界長987公里；葡萄牙記載同一條邊界長1,214公里，多了將近四分之一。

兩國都沒有說謊，也都不是依賴老舊的測量結果。雙方都有稱職的地理學家，用的也都是公認的方法。他們採用的測量尺度不同，而尺度竟然大有關係。Richardson不管往哪裡看，都發現同樣的模式：他檢驗過的每一條國界和海岸線，都隨著量尺縮短而變長。

Richardson的發現如今稱為Richardson效應：當測量單位改變時，量得的邊界長度遵循冪律。用較短的量尺，就能捕捉到更多細節：山坡上的小凹口、河口的彎曲、海岸線繞著潮汐灣口折返的樣子。用較長的量尺，這些地形特徵就會消失，被平均掉。

Richardson效應在海岸線上最為驚人，因為海岸線比陸地邊界更不規則。在英國西海岸，量尺每縮短一半，量得的長度就增加大約五分之一；量尺縮小到十分之一，海岸就長出大約80%。把這個趨勢套到以公里級量尺量得的大不列顛海岸上，再一路外推到1公尺長的量棍，模型算出的總長就會超過1.5萬公里。量尺再縮短，模型算出的數字還會繼續增加。

Richardson本來想清點的是戰爭，他關於邊界長度的研究成果在他死後8年、也就是1961年才發表。他更廣泛的戰爭統計研究早一年出版，確實找到了一個關聯：鄰國越多的國家，打過的戰爭越多。後來的研究者大致證實了這個結果，但附帶一些限定條件。不過，這個發現靠的是清點邊界的數目，而不是測量邊界的長度。他真正想做的檢驗，也就是邊界長度與戰爭可能性的對照，卻卡在一堆怎麼也對不上的數字上。

曼德博的推演

1967年，在Richardson去世14年後，曼德博（Benoît Mandelbrot）發表了一篇短論文，問英國的海岸線有多長，而他的回答是證明這個問題無解。

Richardson描述了這個現象；曼德博則把它形式化。他證明，海岸線的長度取決於測量尺度，也取決於他所謂曲線的碎形維度：這個數字以D表示，介於直線的1和填滿的平面的2之間。海岸線的D大於1。曼德博利用Richardson本人的測量數據和他的分規法，在從數十公里到大約1,000公里的量尺長度範圍內，算出英國西海岸的碎形維度約為1.25。南非海岸線的碎形維度則接近1.02，這條海岸幾乎是平滑的，複雜程度只比直線多一點點。

當D大於1，量尺縮短時，量得的長度不會收斂。在曼德博理想化的曲線中，長度會無限增加；在真實的海岸上，長度會一直攀升，直到量尺小到巨石和卵石的大小，遠遠超出任何製圖者會用的尺度。

把一條直線或一條平緩光滑的曲線量得更精確，它的長度會穩定在某個值上。碎形曲線在每一個尺度上都有自我相似的不規則性，長度不會穩定下來，所以根本沒有什麼真正的長度等著更好的儀器去找出來。

計算碎形維度

曼德博採用的方法改編自Richardson，稱為分規法：把分規張開到量尺長度G，沿著海岸線一步步走，數出走完全程所需的步數N，兩者相乘。量得的長度L = N × G。在幾個不同的尺度上重複這個步驟，再以log(L)對log(G)作圖。這條線向下傾斜，斜率是1 − D。以英國西海岸來說，Richardson的數據在多個尺度上都給出大約−0.25的一致斜率，曼德博據此解讀為D ≈ 1.25。這種一致性，也就是從數十公里到大約1,000公里都保持同樣的斜率，正是自我相似的意義。海岸的每一段放大來看，在統計上都與整體相似。南非的D ≈ 1.02，代表斜率平緩得多，大約−0.02：測量越精細，長度只緩慢增加。英國崎嶇、面向大西洋的海岸則增長得很快。在數據涵蓋的整個範圍內，找不到任何一個長度開始穩定下來的尺度。

一般的測量誤差和碎形維度，是兩種不同性質的問題。如果你用捲尺量一個房間，結果卻前後不一，換更好的儀器就有幫助，更精細的測量能解決問題。面對碎形曲線，測量越精細，問題反而越嚴重，因為你探查的每一個尺度上，曲線本身都有更多結構。

另一方面，Richardson一直在拿衝突和邊界長度做相關分析，而曼德博此時證明，邊界長度這個變數根本沒有穩定的值。把他資料集裡的每一條邊界都用同樣的量尺長度去量，得到的數字在這把量尺下前後一致；換一把量尺，數字就跟著變。他的邊界長度檢驗之所以卡住，或許不是因為理論錯了或數據不好，而是因為自變數並不以他所假設的形式存在。這只是推測：Richardson的方法還有其他局限，而邊界也只是影響戰爭的眾多因素之一。

法律如何劃出海岸

1994年生效的《聯合國海洋法公約》（UNCLOS）從基線起算劃定各個海域。領海從基線向外延伸12海里，鄰接區延伸24海里。專屬經濟海域延伸200海里，國家在這片海域對生物和礦產資源享有主權權利。這一切都取決於基線劃在哪裡。

《海洋法公約》規定了兩種主要方法。第5條確立了「正常基線」——即沿海國官方承認的大比例尺海圖所標明的沿岸低潮線。第7條允許極為曲折或緊接海岸有一系列島嶼的海岸採用「直線基線」：連接最外側的各點，畫一條線，再從那裡起算。對於直線基線和各海域的外部界限，國家必須公布海圖或地理座標表，並交存聯合國秘書長。

第5條只要求「沿海國官方承認的大比例尺海圖」，所以海圖用什麼比例尺繪製，由國家自己決定，基線描出多少海岸細節也隨之由國家決定。各海域是從這條線最外側的各點向外量的，因此一條更長、更曲折的基線，本身並不代表海域更寬。真正左右界限的，是哪些岩石、小島和岬角算作海岸。

第7條的直線基線讓這一點更加明顯。海岸複雜的國家不必描繪曲折的低潮線，而可以用直線連接外側各點，再從那裡起算。被圈在這些直線後方的每一個凹口和峽灣都成為內水；只要直線落在低潮線海岸的外側，從直線量起的界限也跟著向海推移。第7條確實設了限制，要求直線基線的劃定「不應在任何明顯的程度上偏離海岸的一般方向」，但在這個限制之內，線怎麼畫由國家決定。

1951年的英挪漁業案由國際法院在《海洋法公約》起草之前作出判決，確立了一個先例：像挪威這樣的海岸，採用直線基線在法律上是允許的。挪威的skjærgård，意思是「岩石壁壘」，由島嶼、小島、岩石和礁石組成，沿著該國的大西洋海岸排列，是地球上最複雜的海岸地形之一。挪威政府估計，skjærgård包含大大小小約12萬個獨立的島礁。英國提起這起訴訟，主張挪威1935年的法令違反國際法；這項法令在島嶼和岩石上的固定點之間劃出直線基線，用來界定挪威的漁業水域。

國際法院在1951年12月判挪威勝訴。法院認定，在skjærgård形成連續海岸邊緣帶的地方，劃定基線時應以這道邊緣帶的外緣為海岸，而不是內側的本土海岸。挪威保住了對自己較有利的劃界方式。

1951年的判決實際上做的，是認可一套產生了領土結果的方法。法院選定了一個測量海岸的框架，而這個選擇有受益者：挪威得利，英國的漁船隊則沒有。法官們公開論證這一點，衡量了挪威的地理條件，以及沿海社群長期依賴這片水域的歷史，並堅持劃定這類界限絕不能只憑沿海國的意志。但這項判決的分量，來自它決定了哪一條線算作海岸。

規則失靈的三個案例

1825年劃定俄屬阿拉斯加與英屬北美邊界的《英俄條約》，藏著一個劃線問題，要等78年和一場淘金潮才會暴露出來。

條約規定邊界沿著與海岸平行的山脈走；在山脈離海岸太遠的地方，邊界則「與海岸的蜿蜒平行」，距海岸不超過10海里格，大約56公里。只要沒有人在乎這片土地，這個說法就夠清楚了。1897年克朗代克淘金潮爆發，這條邊界突然掌握了通往港口和貿易路線的出入口，問題變得急迫：「海岸」是沿著本土海岸一路延伸到狹長海灣的盡頭，還是沿著島嶼外緣橫越海灣的灣口？加拿大主張外側的線，這樣一來，林恩運河等海灣的盡頭就會落入加拿大手中；美國則主張邊界繞著這些海灣走。

1903年的仲裁庭大體上給了美國想要的結果。加拿大因此失去了自己的出海通道：阿拉斯加狹長地帶的沿海地區仍歸美國，從育空金礦區通往太平洋最直接的路線也一併歸美國。「海岸的蜿蜒」沒有穩定的指涉對象；你怎麼看，海岸就怎麼蜿蜒。條約假定這個問題已經有了答案，78年後，這個懸而未決的答案讓加拿大失去了對出海口的主張。

沖之鳥礁（日本稱「沖之鳥島」）是菲律賓海上的兩塊珊瑚礁岩，位於東京以南約1,700公里。高潮時，露出水面的岩石總面積大約10平方公尺，相當於一間小臥室的大小。日本主張它們是島嶼。如果它們符合《海洋法公約》的島嶼資格，就能產生200海里的專屬經濟海域：大約40萬平方公里的海洋，比日本全部的陸地面積還大。

《海洋法公約》第121條第3項規定：「不能維持人類居住或其本身的經濟生活的岩礁，不應有專屬經濟區或大陸架。」日本的立場是，沖之鳥礁不是岩礁，而是島嶼。為了支撐這個立場，日本用混凝土防波堤和鈦金屬網把兩塊礁岩包覆起來，目的就是防止它們被潮水和侵蝕淹沒。媒體估計這筆開銷約達5億美元，甚至更多。

中國和南韓對這項主張提出異議：兩國在2009年致聯合國的正式照會中，都稱沖之鳥礁是第121條第3項所指的岩礁，無權擁有日本在其周圍劃定的大陸礁層。兩國都沒有挑戰日本對礁岩本身的主權；爭的是它們能產生什麼。

《海洋法公約》「島嶼或岩礁」的二分法，在這裡遇上了它當初沒設想到的情況：一個國家用工程手段改造一處地物，好讓它留在某個法律類別之內。在沖之鳥礁，問題不在測量尺度。混凝土能讓礁岩保持在潮水之上，卻無法讓它們維持人類居住或經濟生活，而中國和南韓認為它們通不過的，正是這項標準。

第三個案例裡，海岸在移動，法律卻被要求原地不動。在2021年8月6日的一份宣言中，太平洋島國論壇全部18個成員國的領袖，從吐瓦魯、吉里巴斯和馬紹爾群島到澳洲和紐西蘭，宣告他們的海域一經確立並通知聯合國，即使海平面上升實際改變了海岸線的位置，也將繼續適用，不會縮減。

即使劃定基線所依據的地形特徵下沉、移位或消失，基線也將維持不變。這份宣言對其中的矛盾直言不諱。它承認，《海洋法公約》的起草者並未設想到海平面上升與海域之間的關係，並援引法律的穩定性、安全性和可預測性，作為不論實體如何變化都要維持海域的理由。

這個想法此後成了主流。2025年7月，國際法院發表諮詢意見指出，在海平面上升使海岸移動的情況下，基線和外部界限一旦妥善確立，《海洋法公約》並不要求各國持續更新標示這些基線和界限的海圖與座標。2026年9月，聯合國會員國以共識核可《聯合國海平面上升宣言》，並送交聯合國大會正式通過；宣言確認，依《海洋法公約》確立的海域，可以在海岸線後退時繼續維持。

吐瓦魯政府靠核發其專屬經濟海域的捕魚許可，取得可觀的收入。如果基線隨著海平面上升、海岸線後退而內縮，專屬經濟海域就會縮小，收入也會跟著縮水。論壇的宣言把海上邊界凍結在某個時間點，並在底下的實體現實逐漸消融時，把邊界牢牢固定在那裡。

國際法院1951年的判決和論壇的宣言，以同樣的方式處理一個測量問題：由一個法律機構選定一套方法，為它背書。1951年的法院選擇了直線基線，並以地理條件和長期慣例為其辯護。2021年的宣言選擇了時間上的固定，而且直說不諱：它不聲稱實體事實支持這個法律結論，只斷言這個結論無論如何都會成立。5年之內，世界最高法院和聯合國全體會員國實際上都表示了同意。

誰握著量尺

一個不附測量方法就發表的海岸線數字，等於少了一半的意義。然而，海岸線有一個可以測量的長度，而且這個數字能分辨資料來源的好壞，這種假設根深柢固，以致引用數字而不附方法，讓人覺得再正常不過。

《海洋法公約》把海圖的選擇交給沿海國，等於把一條取決於尺度的線，交到最在乎這條線落在哪裡的一方手上。挪威從直線基線得利，靠的是取代海岸的複雜性，而不是保留它：連接skjærgård最外側各點的直線，把挪威的漁業界限推得比描繪低潮線時更遠。日本在沖之鳥礁則是在地形本身下工夫，興建防波堤，讓兩塊礁岩留在島嶼的類別裡。在每個案例中，國家主張的都是能換來最多海域的那種海岸解讀。

同樣的定義問題也貫穿國內的海岸治理，而且離個別土地所有人更近。美國聯邦緊急事務管理署（FEMA）的洪災保險費率圖，歷來把海岸線當作靜態的地物。2023年4月全面實施的Risk Rating 2.0費率制度，把海岸侵蝕納入定價因素，但採用的是依距離調整的方式：在距海岸100公尺範圍內，費率的侵蝕因子呈線性遞減。它不推估未來的海岸線，所以地圖不會移動。

英格蘭與威爾斯的海岸線管理計畫做了相反的選擇，而且說得異常明白。這些計畫由地方議會和相關機構組成的海岸小組擬定，在英格蘭由英國環境署（Environment Agency）核准。計畫把移動中的海岸線分成三個時期來推估，分別往後看20年、50年和100年，並為每個政策單元指定四種管理選項之一：守住現有海岸線、向海推進海岸線、有計畫地後撤重整，或不主動介入。一個社區在不同時期得到的指定可能不同；計畫在近期守住的地方，可能到50年時改為後撤重整，到100年時放棄。某戶人家房子所在的政策單元，視你讀的是哪一個時期而定，可能套用三種不同的政策。

國際海洋法和國內海岸治理，大多把測量產生的那條線當作地理的讀數，卻很少記錄是誰選擇了這次測量、用的又是什麼比例尺。

法院處理科學上的不確定性，靠的是專家證詞，方法記錄在案，可以接受交互詰問。當專家爭論的是一個確實存在的數量時，這套做法行得通。曼德博在1967年就證明了，海岸線並沒有一個穩定的長度擺在那裡等人讀取。

Richardson的量尺

Richardson發現邊界的測量結果互相矛盾，也弄清楚了原因：量得的長度取決於量尺的長度，而像海岸和國界這樣不規則的線，根本沒有可以確定的長度。他欠缺的是一套理論，用來解釋大自然為什麼會造出這樣的曲線；1953年9月他去世時，邊界問題仍然懸而未決。曼德博的論文提供了這套理論：Richardson測量的曲線，碎形維度都大於1，所以在Richardson用過的整個量尺範圍內，量得的長度都會隨測量精度提高而不斷增加。只有在理想化的數學曲線中，長度才會無限增長。

如果讓Richardson的邊界長度檢驗卡住的是幾何學，那麼發現這個問題的人，或許正是它第一個重要的受害者。

海洋法後來學會了與這樣一條海岸共處：不管製圖者用什麼尺度，它都不肯安定下來。海洋法讓每個沿海國自行選擇海圖；如今海水正推移著海岸，它又讓那些線停留在當初劃下的地方。

相關文章

• 深海地緣政治：海床為何成了新的北極
• 冰退之後：北極為何成了全球爭奪最激烈的地盤
• 誰定標準誰收費：公制如何成為地緣政治武器

延伸閱讀

Eikleaf參與亞馬遜聯盟計畫（Amazon Associates），可透過符合計畫條件的購買獲得佣金。下方標示Amazon的書籍連結為聯盟行銷連結；若您透過這些連結購買商品，我們可能獲得少量佣金，您無須額外付費。標示博客來的連結則非聯盟行銷連結。

推薦影片

生成式AI使用聲明

本頁部分內容使用生成式AI協助撰寫或編輯。

圖片與媒體來源

sayari bechir – Pexels

主要資料來源與參考文獻

Richardson, L.F. “The Problem of Contiguity: An Appendix to Statistics of Deadly Quarrels.” General Systems: Yearbook of the Society for the Advancement of General Systems Theory, Vol. 6, 1961, pp. 139–187. Posthumous publication; Richardson died September 1953.

Richardson, L.F. Statistics of Deadly Quarrels. Pittsburgh: Boxwood Press, 1960 (posthumous).

O’Connor, J.J. and Robertson, E.F. “Lewis Fry Richardson.” MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Richardson/

Starr, H. and Most, B.A. “A Return Journey: Richardson, ‘Frontiers’ and Wars in the 1946–1965 Era.” Journal of Conflict Resolution, Vol. 22, No. 3, 1978, pp. 441–467. https://doi.org/10.1177/002200277802200306 · https://ideas.repec.org/a/sae/jocore/v22y1978i3p441-467.html

Mandelbrot, Benoît B. “How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension.” Science, New Series, Vol. 156, No. 3775, 5 May 1967, pp. 636–638. https://doi.org/10.1126/science.156.3775.636

Stanford University, Physics 41N. “Lecture 3: Fractals” (Richardson’s border data and Mandelbrot’s log-log plot). https://web.stanford.edu/~rpam/dropoff/Phys041N/lecture3_Fractals.pdf

HKUST Science Focus. “Dimension Between Integers: Can We Measure the Length of a Coastline?” https://sciencefocus.hkust.edu.hk/node/277

Spatial Data Science (rspatial.org). “The length of a coastline.” Case study: ruler measurements of Great Britain at 25–250 km extrapolated to one-metre and smaller rulers. https://rspatial.org/cases/2-coastline.html

United Nations Convention on the Law of the Sea (UNCLOS), opened for signature 10 December 1982, in force 16 November 1994. Articles 3, 5, 7, 16, 33, 55–57, 121. https://www.un.org/depts/los/convention_agreements/texts/unclos/part2.htm · https://www.un.org/depts/los/convention_agreements/texts/unclos/part5.htm · https://www.un.org/depts/los/convention_agreements/texts/unclos/part8.htm

Fisheries Case (United Kingdom v. Norway), International Court of Justice, Judgment of 18 December 1951. ICJ Reports 1951, p. 116. https://www.icj-cij.org/case/5 · https://icj-cij.org/node/103774

Alaska Boundary Dispute, Arbitral Tribunal, Award of 20 October 1903. Treaty of Saint Petersburg (Anglo-Russian Convention), 1825. The Canadian Encyclopedia, “Alaska Boundary Dispute.” https://www.thecanadianencyclopedia.ca/en/article/alaska-boundary-dispute

Tokyo Metropolitan Government. Interview on the protection works at Okinotorishima. https://www.t-borderislands.metro.tokyo.lg.jp/en/interview/interview5.html

People’s Republic of China, note verbale CML/2/2009 (6 February 2009), and Republic of Korea, note verbale MUN/046/09 (27 February 2009), on Japan’s submission to the Commission on the Limits of the Continental Shelf. https://www.un.org/depts/los/clcs_new/submissions_files/jpn08/chn_6feb09_e.pdf · https://www.un.org/depts/los/clcs_new/submissions_files/jpn08/kor_27feb09.pdf

Pacific Islands Forum. “Declaration on Preserving Maritime Zones in the Face of Climate Change-Related Sea-Level Rise.” 51st Pacific Islands Forum, 6 August 2021. https://forumsec.org/publications/declaration-preserving-maritime-zones-face-climate-change-related-sea-level-rise

International Court of Justice. Obligations of States in respect of Climate Change, Advisory Opinion of 23 July 2025, paras. 361–362. https://www.icj-cij.org/case/187

United Nations. “With Highest Annual Sea Level Increase Recorded, States Approve Declaration Calling for Urgent Action to Address Existential Threat.” Press release SEA/2254, 24 September 2026. https://press.un.org/en/2026/sea2254.doc.htm · UN News, “World leaders approve new declaration to tackle rising sea levels,” 24 September 2026. https://news.un.org/en/story/2026/09/1168423

CIA World Factbook (discontinued February 2026). United Kingdom — Geography. Coastline: 12,429 km (last published edition). Associated Press, “CIA ends publication of its popular World Factbook reference tool,” 4 February 2026; archived Factbook data. https://www.wsls.com/news/politics/2026/02/04/cia-ends-publication-of-its-popular-world-factbook-reference-tool/ · https://raw.githubusercontent.com/factbook/factbook.json/master/europe/uk.json

World Resources Institute. Pilot Analysis of Global Ecosystems: Coastal Ecosystems (Burke, L. et al.), April 2001. Coastline length (Pruett and Cimino, 2000 data) derived from World Vector Shoreline database (US Defense Mapping Agency, 1989) at 1:250,000 scale. UK figure: 19,717 km. https://files.wri.org/d8/s3fs-public/pdf/page_coastal.pdf

Ordnance Survey. History of Ordnance Survey. https://www.ordnancesurvey.co.uk/about/history

Environment Agency / Coastal Groups. Shoreline Management Plans: policy framework applying 0–20, 20–50 and 50–100 year epochs with hold-the-line, advance-the-line, managed realignment and no-active-intervention policies. https://www.gov.uk/government/publications/shoreline-management-plans-smps/shoreline-management-plans-smps

FEMA. National Flood Insurance Program Risk Rating 2.0: Methodology and Data Sources. January 2022. https://www.fema.gov/flood-insurance/risk-rating · https://www.fema.gov/sites/default/files/documents/FEMA_Risk-Rating-2.0_Methodology-and-Data-Appendix__01-22.pdf