傑利蠑螈的數學：民主最大的缺陷，原來是幾何問題

本文由英文原文機器翻譯而成。

最後更新：2026年11月2日 · 閱讀時間約18分鐘

2012年的美國聯邦眾議院選舉，結果看起來像是顛倒過來。民主黨候選人在全國的總得票比共和黨多出140萬票，共和黨卻多拿了33席。沒有選票遭到銷毀，也沒有投票所提早關門；每一張票都點得正確無誤。

最直接的解釋是傑利蠑螈（gerrymandering）。這個解釋道出了很大一部分的真相；其餘的部分，後文會看到，是地理。然而「傑利蠑螈」已經成了一個取代理解的詞：名稱人人耳熟，運作機制卻大多不透明。一旦把這套機器看成套用在得票數上的幾何學，就能明白，那些為了遏止它而設計的精密工具，為什麼總是撞上同一道極限：它們能顯示一張選區圖不尋常，卻說不出公平的選區圖長什麼樣子。

什麼是浪費票

先假設有50萬名選民，恰好對半分：250,000人支持A黨，250,000人支持B黨。這個州分到5個國會席次，因此劃成5個選區，每區100,000名選民。在按比例把選票轉換成席次的制度下，自然的結果大約是3比2。

畫出第1張圖。三個選區以60,000比40,000由A黨勝出；另外兩個選區則以65,000比35,000由對手勝出。A黨3席，B黨2席。這張圖反映了選民原本的分布。

再畫第2張圖。四個選區以55,000比45,000由A黨勝出，一個選區以70,000比30,000由B黨勝出。A黨只拿到恰好一半的選票，卻贏得5席中的4席，也就是80%。

兩張圖裡的選民和各黨總票數完全相同，移動的只有界線。只要看看落敗的選票去了哪裡，機制就一目了然。

在第2張圖裡，B黨在四個落敗選區各有45,000名支持者，他們的票對結果毫無作用。這些票不會累積，也不會轉移到別處去換一個席次；一到選區邊界就失效了。而在B黨大勝的那一區，70,000票中有19,999票是多餘的。贏得一席只需要50,001票，超出的每一票都換不到任何東西。

這就是浪費票，分為兩種：一種是投在根本沒有勝算的選區裡的落敗票，另一種是堆在早已到手的勝利上、毫無用處的多餘票。蓄意的傑利蠑螈式劃分，就是要在浪費的程度上製造不對稱。把對手的選民塞進少數幾個大勝的選區，他們的多餘票就白白浪費了。再把剩下的對手選民稀疏地分散到許多敵對選區，讓他們在那裡以些微差距落敗，這些落敗票也跟著浪費掉。與此同時，把自己的支持者分散到盡可能多的選區，在每一區都以穩當但不過分的差距勝出。己方幾乎沒有浪費，對方卻浪費了一大堆。五五分的選民結構，就這樣變成八二分的席次優勢；而自2019年以來，沒有任何聯邦法院會推翻這樣的選區圖。

這套算術還可以最佳化。選區重劃軟體可以讀入投票區層級的人口結構與投票紀錄資料，在畫下任何一條界線之前，就模擬出哪一種劃法能造成最不對稱的浪費。劃圖者接著可以反覆修改，直到選區圖幾近最佳。

實際算一遍

上例的第2張圖會得出以下數字。第1至第4選區：每區A黨55,000票、B黨45,000票。第5選區：B黨70,000票、A黨30,000票。兩黨最後各得恰好250,000票。B黨輸掉四個選區，只以壓倒性之姿贏下一個選區。

B黨的浪費票：每個落敗選區45,000票 × 4 = 180,000票，全耗在敗選上。在那場壓倒性勝利中，70,000 − 50,001 = 19,999張多餘票。B黨浪費票合計199,999張，約200,000張。

A黨的浪費票：唯一落敗的那一區30,000票，加上每個勝選選區4,999張多餘票 × 4 = 19,996張。A黨浪費票合計49,996張，約50,000張。

儘管兩黨總票數相同，B黨浪費的票卻是A黨的4倍。效率差距，也就是兩黨浪費票之差除以總票數，在這個虛構的州達到30%（150,003 ÷ 500,000）。真實的傑利蠑螈手法更細膩，原理卻一樣：Gill v. Whitford案核心的威斯康辛州眾議院選區圖，在2012年與2014年分別產生約13%與10%的效率差距。

2010年人口普查前後，共和黨著手在全國規模上運用這套算術。

REDMAP如何啟動這部機器

在美國政治史的大部分時間裡，黨派性的選區重劃全看機會。在人口普查那一年掌握州議會與州長職位，就能畫出對自己有利的選區圖；失去掌控，就換對手來畫。這種操作既犬儒又人盡皆知，但也受限於一屋子政客帶著紙本地圖和幕僚，在期限前能做到的程度。

REDMAP，即「選區重劃多數計畫」（Redistricting Majority Project），是共和黨州領導委員會（Republican State Leadership Committee）在2010年選舉週期的策略，核心是一個簡單的結構性洞見：人口普查後將由各州議會劃定國會選區，而2010年期中選舉將決定屆時各州議會由哪個黨掌控。

在對的搖擺州拿下對的州議會議院，就能掌控這些州整整十年的選區重劃。羅夫（Karl Rove）就公開說過這一點：2010年3月，他在《華爾街日報》的專欄中下了這樣一個小標題：「掌控選區重劃的人，就能掌控國會。」

REDMAP鎖定16個州的107個州議會席次（威斯康辛、密西根、俄亥俄和賓州都在其中）。共和黨州領導委員會在2010年選舉週期募得約3,000萬美元，募款成績遠勝其他任何一年，並把這筆錢灌進排在選票後段、大多數選民從未留意的地方選戰。

共和黨在2010年翻轉了足夠多的州議會議院，得以在關鍵之處掌控選區重劃。新的選區圖隨後以統計與製圖軟體繪製，這類軟體能在投票區層級模擬政黨的選舉結果——在任何界線定案之前，就算出某種選區配置下的預期得票率。在威斯康辛州，後來成為2011年第43號法（Act 43）的選區圖，是在Michael Best & Friedrich律師事務所一間不對外開放的「地圖室」裡擬定的，而不是在公開的委員會會議室。起草者使用州政府提供的電腦，執行選區重劃程式autoBound，並以一套與政治學者Keith Gaddie合作建立的迴歸模型，為每份草案的政黨表現評分。

2012年，共和黨眾議員候選人在全國拿到略低於48%的普選票，贏得54%的席次。在共和黨掌控選區重劃的州，轉換比率是53%的得票換來約72%的席次。這兩組比率之間的落差，就是在全國規模上運作的浪費票不對稱，而新的界線又把它拉得更大：布倫南司法中心（Brennan Center for Justice）估計，若沿用舊選區，共和黨在這些州約能拿下65%的席次。

民主黨做了什麼

2011年，民主黨重劃馬里蘭州第6國會選區，把一個穩定支持共和黨的席次變成民主黨的安全席次，做法是把華府郊區的投票區併入馬里蘭西部的鄉村地帶，同時切掉數十年來界定這個選區、傾向共和黨的社區。2021年，伊利諾州民主黨在全州規模上如法炮製：新的國會選區圖把州南部兩個由共和黨掌握的選區合而為一，並刻意劃成在17席中產出14席民主黨席次，也正是伊利諾州如今在國會的席次分布。普林斯頓傑利蠑螈計畫（Princeton Gerrymandering Project）在政黨公平性一項給它打了F。

兩者都是黨派操弄。但兩者都不是全國協調、橫跨多州，且有書面戰略簡報與據報約3,000萬美元資金的行動。

最高法院的漫長迴避

美國聯邦最高法院審視這個問題已有半個世紀。這些案件遵循同一個模式：問題真實存在且有害，而最高法院不願提供救濟。

現代這一系列案件始於1986年的Davis v. Bandemer案。印第安納州民主黨人挑戰州議會選區圖，指其儘管民主黨贏得全州過半選票，仍讓共和黨取得可觀的席次優勢。最高法院以6比3裁定，黨派性傑利蠑螈的主張依平等保護條款具可裁判性——聯邦法院可以受理。但多數派隨即在「怎樣的主張才能勝訴」上分裂。大法官懷特（White）的實體意見只湊到四人連署，而不是五人，沒有任何多數同意一套標準。本案認定印第安納州的選區圖合憲，把更困難的問題擱置下來，挑戰要成功須跨過什麼門檻，也就懸而未決。

18年後，Vieth v. Jubelirer案把選項縮減為兩個。賓州民主黨人挑戰2000年後的國會選區圖。大法官史卡利亞（Scalia）主筆的四人相對多數意見認為，此問題不具可裁判性，屬於法院無權插手的政治問題。另外四位大法官不同意，彼此卻談不攏一套標準。握有關鍵一票的大法官甘迺迪（Kennedy）則處於暫緩判斷的位置：他認為這個問題可以裁判，只是尚未有人提出可行的標準。他的協同意見書寄望或許仍能找到一套「有限且精確的理據」，並指出推動傑利蠑螈的同一種電腦技術，「可能產生新的分析方法」，足以將其揭穿。效率差距正是為了回應這份協同意見書而打造的。

2018年的Gill v. Whitford案中，威斯康辛州的原告以效率差距作為憲法上的量尺，挑戰第43號法——這正是甘迺迪曾表示，若能找到便會舉足輕重的那種標準。最高法院一致認為原告尚未證明自己具備原告適格，也未就實體問題作出有利或不利於原告的裁決。七位大法官將案件發回，讓原告再試一次；大法官湯瑪斯（Thomas）與戈薩奇（Gorsuch）則主張直接終結此案。原告主張的是全州範圍的黨派性損害；最高法院則認為，他們必須證明每位具名原告個人在所屬選區受到的具體損害。

九天後，甘迺迪宣布退休；2019年，Rucho v. Common Cause案則把黨派性傑利蠑螈的主張完全擋在聯邦法院門外。

首席大法官羅伯茲（Roberts）代表5比4的多數撰寫判決，認定黨派性傑利蠑螈的主張屬於「聯邦法院管轄範圍之外的政治問題」。聯邦法院缺乏一套「清楚、可操作且政治中立」的標準，因此無法裁斷多少黨派優勢才算越過憲法界線。羅伯茲承認，選區劃分中過度的黨派性「導致依常理看來並不公正的結果」，且「與民主原則不相容」。接著，他把問題交給了國會和各州。

效率差距原本是為了回應一道特定的憲法難題而打造的，這道難題由一位握有關鍵搖擺票的大法官正式提出；而這位大法官在這項檢驗得到實體審理之前，就離開了法官席。

種族與黨派傑利蠑螈的交會處

種族性傑利蠑螈適用的是另一套法律。1986年Thornburg v. Gingles案之後的四十年間，聯邦法院有一套可用的框架，依《投票權法》（Voting Rights Act）判斷選區圖是否稀釋了少數族群的投票力量：州政府是否把少數族群選民集中塞進少數選區或拆散到多個選區，使他們無法選出自己屬意的代表。2026年4月，Louisiana v. Callais案大幅限縮了這套框架，對稀釋選票的主張施加新的、更嚴格的舉證要求。至於黨派性傑利蠑螈，自Rucho案以來，根本沒有任何聯邦標準。

實務上，這兩類很難清楚區分。在種族與政黨傾向高度相關的州（南方大部分地區皆是如此；在全國範圍內，黑人選民支持民主黨的比例達五比一甚至更高），劃出「共和黨」選區和劃出「白人」選區，可能是同一個地理動作，用同一條線就能完成。因應的法律策略如今已成慣例：被指控出於種族動機時，就主張是黨派動機，反之亦然，端看哪一種主張在法律上處境較危險。允許的黨派操弄與禁止的種族操弄之間的界線，法院始終任其模糊。

效率差距與它的對手

甘迺迪要的是一套標準。2015年，時任芝加哥大學法學教授（現任教於哈佛大學）的Nicholas Stephanopoulos與政治學者Eric McGhee試圖給他一套，把浪費票的不對稱形式化為單一公式。

效率差距的公式很精簡：把一黨的浪費票總數減去另一黨的，再除以總投票數。浪費票包括一個選區裡所有的落敗票，加上勝選候選人超出勝選所需最低過半數的所有選票。得出的結果，表達的是兩黨把選票轉換成席次時效率上的不對稱。

Stephanopoulos與McGhee提議，州議會選區方案的差距達8%以上，或國會選區方案達兩席以上，就應推定該選區圖違憲；在威斯康辛案中，原告的專家證人Simon Jackman則主張以7%為門檻。第43號法13%與10%的差距，兩道門檻都超過了。

這個公式確有實在的優點。它抓住了機制，而且只要有公開的選舉結果就能計算，不必知道劃圖者的意圖。由於結果是單一數字，法院可以據以評估，這正是甘迺迪所要求的。

對手接踵而來。平均數—中位數差（mean-median difference）衡量的是一黨在各選區得票率的中位數與平均數之間的差距：當選票集中在少數幾個大勝選區時，中位數就會落到平均數之下。在常見指標中，它屬於最不準確的選項之一：適用範圍廣，但在標記遭傑利蠑螈操弄的選舉上，表現不如效率差距的各種變體或傾角指標。原因在於，極端的平均數—中位數差值，並不能可靠地對應到極端的席次結果。佛蒙特大學數學家Gregory Warrington發展出「傾角」（declination）指標：兩黨各有一條線，線裡編碼了該黨贏得多少選區，以及它在勝選選區的平均得票率；傾角就是這兩條線之間的夾角。這個指標在幾何上很優雅，底層的問題卻一樣。

每一種單一數字指標，都會受到選民恰好住在哪裡的影響，與界線怎麼畫無關；而當一黨的選民集中在城市時，這種影響就很大。

麻州提供了最清楚的示範。共和黨在當地的全州得票率通常有30%到40%，但其選民分布得極為平均，幾乎不可能劃出一個讓他們勝出的選區：在好幾次全州性選舉中，以完整市鎮或投票區組成的有效方案多到天文數字，而每一個都產出9比0的民主黨國會代表團。一張中立的選區圖——不參考任何政黨資料，沿著郡界劃分，只求人口均等——按照Stephanopoulos與McGhee的門檻，其效率差距可能足以觸發違憲審查。這個結果不會是任何人刻意設計的，只是因為麻州共和黨選民分布得太過平均。刻意「集中與拆散」（packing-and-cracking）造成的10%效率差距，與單由選民地理分布造成的10%差距，在算術上無從分辨。

這為劃圖者提供了掩護。在高度都市化的州，劃圖者知道，選民的自然集中在他們動任何一條線之前，就會產生一個基準效率差距。畫出一張分數接近該基準的選區圖，再主張差距反映的是地理而非操弄。這種說法有時是真的，而指標無法分辨何時為真。

地理之下，還有更深的問題。每一種指標衡量的，都是相對於某個隱含基準的偏離：在既定的選民地理分布下，「公平」的席次分配應該是什麼樣子。但這個基準不在資料裡。它在測量開始之前就已選定。

威斯康辛州的數字

在Gill v. Whitford案中，原告以第43號法實施下的兩個選舉週期為立論基礎。2012年，共和黨候選人贏得威斯康辛州眾議院99席中的60席，而民主黨在各選區的兩黨得票占比平均約為51.4%（無對手競爭的席次以估計值計入）。原告主張，2012年和2014年的效率差距都超過其專家證人、史丹佛大學政治學者Simon Jackman提出的7%門檻，而且這道差距在投票率模式不同的兩個選舉週期中持續存在，顯示它內建於選區圖之中，而非單次選舉的偶然產物。由於最高法院以原告適格為由裁決此案，這項論點從未得到實質審理。

系集方法與軍備競賽

單一數字指標還有一個實際的弱點：一個數字把自己的假設攤得太開，對方的專家證人可以在法庭上直接攻擊其基準。下一代工具於是捨棄單一數字，改為拿替代選區圖來比較。

2016年，時任塔夫茲大學數學家的Moon Duchin創立了度量幾何與傑利蠑螈研究小組（Metric Geometry and Gerrymandering Group，MGGG）。她的團隊發展出的系集（ensemble）方法，產出的是一個分布，而不是單一分數。先畫出數百萬乃至數十億張替代選區圖，每一張都滿足與已通過選區圖相同的法律限制（選區相連、人口均等、符合《投票權法》、合理的緊湊度），再看實際的選區圖落在這個分布的哪個位置。

如果在滿足相同法律要求的隨機生成選區圖中，有99.9%讓處於劣勢的政黨拿到比已通過選區圖更多的席次，那麼在系集抽樣的替代方案之中，已通過的選區圖就是統計上的離群值。這項發現說的是選區圖異常；它並未依任何有爭議的指標對公平與否作出判斷。要把這樣的結果歸咎於自然地理就難得多，因為那些隨機生成的選區圖出自同一個州、受同一套規則約束，卻仍得出與已通過方案不同的結果。

GerryChain是MGGG維護的開源Python函式庫，以馬可夫鏈蒙地卡羅方法實作這套做法，具體而言是約在2018年開發的ReCom演算法。2018年1月，系集證據撐起了兩項重大判決。北卡羅來納州的聯邦合議庭推翻該州國會選區圖時，倚重模擬選區圖的證據，這項判決後來在Rucho案中被最高法院撤銷；在賓州，卡內基美隆大學數學家Wesley Pegden作證指出，該州國會選區圖所呈現的黨派偏差，比他的馬可夫鏈所探索的替代方案中99.99%以上的選區圖都更像精心設計的結果。州最高法院隨後推翻了該選區圖。GerryChain本身源自MGGG於2018年舉辦的投票權資料研究所（Voting Rights Data Institute）；同年，早期版本就被用來分析維吉尼亞州眾議院（House of Delegates）的補救選區圖，此後系集方法便一直是選區重劃訴訟中的常備工具。

ReCom做了什麼

早期的系集方法產生新選區圖的方式，是每次把單一投票區從原屬選區改劃到相鄰選區。問題在於：這條鏈移動緩慢，一直停留在起始配置附近，而不是探索有效選區圖的整個空間。對大州而言，要取得具代表性的樣本，運算成本高得令人卻步。ReCom的運作方式不同：它選出兩個相鄰選區，把它們合併成單一區域，為這個合併區域建立一棵隨機生成樹，再在樹的某一條邊上切斷，產生兩個新的有效選區。每一步都是大幅的結構性改變，而非漸進式的微調。這條鏈混合得更快，抽樣範圍也更廣。這一點很重要，因為只有當隨機生成的選區圖代表劃圖者當時實際可選的範圍，而不只是恰好與已畫出那張相似的選區圖時，系集分析才有意義。

這個方法也可以反向操作。劃圖者可以在提交方案之前先生成一個系集，再從安穩落在分布之內的選區圖中，挑出對自己政黨最有利的那一張；如此一來，偵測工具也能兼作設計工具。軟體是開源的，所以任何人只要有一台筆電和投票區資料，都能這麼做。

接著是限制條件的問題。要生成隨機選區圖的分布，就必須指定在哪些法律限制之內隨機化。以緊湊度為優先，會得到一種分布；要求盡可能保留郡界，會得到另一種；嚴格解讀《投票權法》的合規要求，又會得到第三種。

不同的限制條件設定，會產生不同的隨機選區圖分布、不同的基準，也可能對已通過的選區圖是否為離群值作出不同的判定。設定這項檢驗，就必須決定選區圖應該服務哪些價值，而這恰恰是這項檢驗原本設計來迴避的政治問題。

基準問題

公平的選區重劃圖長什麼樣子？這個問題目前至少有三種截然不同的答案正被認真採用，而它們可能彼此拉扯。

比例性：一個政黨贏得X%的選票，就應該贏得大約X%的席次。競爭性：應讓盡可能多的選區有競爭空間，在任何人投票之前，結果都還沒決定。政黨對稱性：如果兩黨的得票率互換，席次結果也應隨之互換，因此沒有哪一方握有不論實際支持度如何都持續存在的結構性優勢。

以比例性為最佳化目標的選區圖，往往需要為各黨製造安全席次，這就消滅了競爭性的選戰。以競爭性為最佳化目標的選區圖，在一黨選民地理上高度集中時，可能產生不符比例的結果：選戰都很接近，席次分配卻偏離了得票分配。政黨對稱性則可以靠著讓每個選區都對稱地成為安全席次來達成，這在對稱性指標上能拿滿分，產生的選舉卻沒有任何一席真正有競爭。

每一種指標都把某種公平的定義嵌入為預設的基準，而且不一定是這三種之一。效率差距的基準是固定的席次紅利：在各選區投票數相同的情況下，要讓差距為零，一黨的得票率每高出50%一個百分點，席次率就得增加約兩個百分點，因此55%的選票應帶來約60%的席次。對稱性指標，包括平均數—中位數差，則直接假設了對稱性。

系集方法把同樣的判斷編碼在限制條件的選擇中：採用哪一種緊湊度定義、哪一種《投票權法》解讀、郡界是否具約束力。無論哪一種情況，基準都在測量開始之前就已選定。

首席大法官羅伯茲在Rucho案中寫道，聯邦法院缺乏一套「清楚、可操作且政治中立」的標準，因為裁判黨派性傑利蠑螈，將要求法院「自行作出政治判斷，決定特定政黨應得多少代表權」。批評這項判決是司法迴避，並不為過：明明有一個判斷要做，最高法院卻拒絕了。

但羅伯茲也點出了某種結構上確實存在的東西。每一種指標都代表一項有爭議的政治價值，以算術形式寫進其基準；法院若採用其中一種，就是在作出他所描述的那種政治判斷。

這些指標就算用它們自己的標準衡量，也不及格。兩種常用的對稱性指標，平均數—中位數差與政黨偏差（partisan bias），不一定會隨著選區圖的席次結果愈趨極端而愈趨極端；在18張真實的美國選區圖上測試時，它們可能完全漏掉極端的席次結果。而平均數—中位數差、效率差距、傾角與GEO指標，每一種都可以被鑽漏洞：電腦搜尋可以找出讓某一黨拿到極端席次數的選區圖，同時讓指標仍維持在研究者事先設定的「公平」範圍內。

數學可以揭穿傑利蠑螈，卻無法定義公平。加州公民選區重劃委員會（Citizens Redistricting Commission）明確排定各項準則的優先順序，把價值判斷放上公開紀錄，而不是交給一道公式。該會的國會選區圖目前暫時擱置：2025年11月，選民通過第50號提案，在委員會於2030年人口普查後重劃界線之前，改用一張由州議會劃定的選區圖。這項提案是對德州在十年期中途重劃選區的回應，也是軍備競賽的又一回合。

比例代表制依得票比例分配席次，縮小了操弄的槓桿；若席次是依單一的全州或全國計票來分配，則能完全消除這種槓桿。這兩種做法都把政治選擇攤在檯面上。

這一切都改變不了2012年的結果：民主黨候選人多得140萬票，共和黨多得33席。那個結果有很大一部分出自同一套機制：在任何一票投下之前就以軟體模擬、並在鎖定的搖擺州逐一最佳化的浪費票不對稱。效率差距與系集方法正是為了揭露這套機制而設計的，而它們也確實揭露得很好。

那個結果是否不公，是一個判斷，而這個判斷取決於事先認定的立場：選區重劃究竟應該達成什麼。這個立場，委員會可以寫成一份排定順序的準則清單；自己劃選區圖的州議會，則可以不說出口。

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圖片與媒體來源

2007年法國總統大選第二輪投票。- Wikipedia

主要資料來源與參考文獻

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